CAS på iPad

I dette blogindlæg, vil jeg tage jer med på en rundtur i, hvilke muligheder de skoler, som står med iPad som digitalt værktøj, har for at bruge CAS. Jeg har fået mange henvendelser fra lærere, skoler og enkelte kommuner, som står med nogle udfordringer i at finde et CAS-værktøj til iPad.

Først vil jeg sige, at økonomi er en faktor, og derfor skelner jeg i det følgende mellem gratis-apps/webapps og betalings-apps. Det er et vilkår nogle steder, at der ikke er økonomi til at indkøbe dyre apps, og nogle af de betalingsapps, som kan CAS koster en portion penge.

Gratis apps

MyScript Calculator


Når vi er i indskolingen og det tidlige mellemtrin, vil jeg fremhæve appen MyScript Calculator, som egentlig blot er en lommeregner. Men den kan håndtere ubekendte. Man skriver med fingeren, så det er en mulighed for at arbejde med symbolsprog på en taktil måde. Appen genkender relativt ulæselig håndskrift, men den kan fx ikke læse spejlvendte tal. Det giver god anledning til at få eleverne til at gå tilbage til deres regneudtryk og overveje, hvad der kan være galt. Eleverne skal lige lære, at når de slipper skærmen, går appen i gang med at omsætte til trykte tal mv. Så de skal ikke slippe skærmen helt, før de er færdige med at skrive hele udtrykket. Det er dog min erfaring, at det får de relativt hurtigt fat i.
I forhold til det at arbejde med ubekendte, kan vi fx skrive 10+?=15, og så beregner appen, hvad der skal stå i stedet for ?. Du kan se en kort demo i videoen herunder.

Det er jo ikke et fuldgyldigt CAS-værktøj, men som intro til at arbejde med udtryk med ubekendte mener jeg, at appen er meget velegnet.
Appen findes til IOS og Android.

GeoGebra

GeoGebra har et CAS indbygget i sig, som kører fint på iPad. Man kan vælge forskellige apps/værktøjer i GeoGebra, hvor et af dem er CAS.

CAS i GeoGebra har sin egen værktøjsbjælke med egne ikoner.

Her kan eleverne beregne som på en lommeregner ved at bruge de første to lighedstegn, eller de kan løse ligninger eller regneudtryk med ubekendte ved at bruge de to lighedstegn længst til højre.
Bemærk, at GeoGebra skelner mellem eksakte og numeriske beregninger, som mange andre CAS-værktøjer gør det.
GeoGebras CAS er glimrende til at arbejde med regneudtryk med ubekendte, fx til at undersøge ligninger eller regneudtryk med ubekendte. Man kan både bruge det som Blackbox eller Whitebox – se blogindlægget om CAS – hvilken box er i spil?.

Jeg vil lige bemærke, at GeoGebras CAS-værktøj ikke er velegnet til kommunikation. Man kan fx ikke bruge GeoGebras CAS som kommunikationsværktøj, hvor man skriver sammenhængende tekst, fx i forbindelse med en opgavebesvarelse eller lign.

Fastfig

Jeg nævner Fastfig forsigtigt i dette blogindlæg. Fastfig er en webapp, som kører i skyen på fastfig.com. Udfordringen med Fastfig er, at den kører meget ustabilt pt. Jeg har afprøvet appen, mens den fungerede fint, og været meget begejstret. Men desværre kører den ikke stabilt pt. Jeg tager den dog med, fordi jeg ser nogle potentialer i denne app, hvis den på et tidspunkt bliver stabil igen.

Appen skelner fx automatisk om man skriver tekst eller regneudtryk. Og appen er velegnet til kommunikation, da man kan skrive sammenhængende tekst og layoute på enkel vis. I fastfig skal man skrive solve, når man kaster sig ud i ligningsløsning, fx solve(2x+3=5,x) – ,x angiver at min ubekendte hedder x – den kunne dog også hedde alt muligt andet.

Der findes et hav af videoer til Fastfig. Niels Jacob Hansen, har lavet en række videoer, på linket her, er der på sidste side 3 gode videoer til fastfig.

Wolfram Alpha

Wolfram Alpha findes som app og som webapp/hjemmeside på wolframalpha.com. Wolfram Alpha findes også som app, man kan betale for, prisen er ca. 25 kr., men jeg har erfaret, at hvis man går ind via sin browser på iPad’en, fx Safari og går til hjemmesiden, kan man arbejde i den gratis onlineudgave.

Wolfram Alpha kan meget mere end CAS, det er et kæmpe opslagsværk. Men for elever kan de skrive deres regneudtryk og fx få beregnet i inputfeltet på hjemmesiden.

Wolfram Alpha har en fremium/premium funktionalitet, man kan fx ikke se trin for trin løsning af en ligning, hvis man ikke har premium udgaven eller Pro-udgaven. Wolfram Alpha har forskellige visueller repræsentationer for løsning af ligninger, fx som grafisk løsning og repræsentation på tallinje, som kan være interessante at koble på det specifikke arbejde med ligninger.

 

Betalingsapps

Der findes mange betalingsapps på markedet, som har CAS-funktioner. Jeg vil her blot trække et par enkelte frem.

Calca

I min timelange, næsten dagelange søgning efter velegnede apps til CAS, har jeg fundet appen Calca. Appen kan selv læse, om det er regneudtryk eller tekst, hvilket gør det muligt at bruge appen til kommunikation. Appen findes til IOS og Windows. Læs mere om den her.

Calca koster 39 kr. Jeg tænker, at appen har potentiale for de skoler eller kommuner, som ikke har økonomi til at købe et af de dyre CAS-værktøjer, men som gerne vil finde et CAS-værktøj, som kan bruges til kommunikation. Jeg vil gerne lægge et par videoer ind fra Calca, hvis I gerne vil se med. Så må I bare bede om det i kommentaren til dette blogindlæg. I første omgang, kan I se lidt på skærmbillederne herunder. Bemærk de to lighedstegn. = og så => – det sidste beregner, det første tildeler/definerer værdier.

PocketCas

PocketCas findes som gratisværktøj og som betalingsapp. Hvis man skal arbejde med CAS-funktionaliteter, kan man kun gøre det i betalingsudgaven. Gratisudgaven fungerer mest som lommeregner, så man er nødt til at betale de 55 kr. som appen koster, hvis man vil arbejde med CAS-delen. PocketCas har en særlig syntaks, når det kommer til at løse ligninger. Der skal man vælge Solve. Se skærmklippene herunder.

PocketCas er ikke velegnet til kommunkation. På den måde minder den mest om GeoGebras CAS, man kan arbejde i en række regneudtryk, men ikke skrive sammenhængende tekst. Så hvis man leder efter et CAS-værktøj som udelukkende skal bruges til regneudtryk, kunne dette være en mulighed.

Herunder er en række eksempler på Pocket CAS. Først har jeg reduceret en række regneudtryk.

Herefter har jeg løst en ligning – bemærk den klassiske CAS-syntaks her og se den særlige CAS-menu der er.

 

TI-Nspire

TI-Nspire fås som betalingsapp til iPad. Prisen i appstore er 235 kr. TI-Nspire er et omfattende CAS-værktøj med mange funktionaliteter. Men den høje pris kan være en udfordring for skolerne og kommunerne. TI-Nspire kræver lidt tilvænning, da der er så mange funktionaliteter, og man skal som bruger være bevidst om, hvad man vil. Vil man beregne, vil man løse en ligning, vil man skrive tekst osv. Det kræver at man træffer forskellige valg i starten. Det kræver, som jeg kan se det, at man gradvist udvikler elevernes helikopterperspektiv på, hvad de vil, inden de går i gang i værktøjet.

Herunder er et par skærmklip fra arbejde i TI-Nspire. Der er forskellige beregninger, indsat billede fra GeoGebra mm.

Mathination

Jeg nævner slutteligt appen Mathination. Mathination er ikke et CAS-værktøj i klassisk forstand. Men jeg nævner den alligevel, fordi jeg ser nogle muligheder i den, hvis man vil arbejde med at udvikle elevernes regnestrategier, når det kommer til ligningsløsning. Man kan i appen løse en række forprogrammerede ligninger eller man kan indtaste sine egne problemer. Mathination koster 39 kr. Jeg tænker, at nogle af de skoler/kommuner, som bruger iPads, og som ser potentialer i at inddrage appen evt. kunne anskaffe x antal af appen, og så give klasser adgang på skift måske?

Jeg har lavet en hurtig lille video for at give en idé om, hvad Mathination kan. Jeg ser især et potentiale, når man tænker White Box eller Diskussionsværktøj, hvis vi tænker i Nabb’s kategorier for brug af CAS.

Jeg beklager, at dette blogindlæg blev lidt langt, jeg håber, at I har scrollet i det, og orienteret jer i det, som gav mening for jer at læse mere om. Vi vil rigtig gerne høre om jeres erfaringer med CAS på iPad. Hvad gør I? Hvordan gør I? Har I gode workarounds fx på kommunikationsdelen, som kan være en udfordring i nogle af CAS-værktøjerne. Hvilke af CAS-værktøjerne har I gode erfaringer med? Har I fundet gode værktøjer, som jeg ikke har nævnt her?

CAS – hvilken box er i spil?

Dette blogindlæg er tænkt som et oplæg til diskussion om CAS som redskab i matematikundervisningen.

Udgangspunktet er en artikel af Keith Nabb, som blev udleveret som forberedelsesmateriale til eksamen på læreruddannelsen sommeren 2013. Artiklen er siden bragt i MONA 3/2016 (kræver login, hvis man vil tilgå den elektronisk) på baggrund af en artikel af Mogensen et al., 2016 – netop om forskningen bag Matematik med it. Artiklen af Nabb er derefter kommenteret af Claus Larsen og Henrik Bang, begge Christianshavns Gymnasium i MONA 4/2016: http://cmu.math.ku.dk/nyheder/artikler/06-Bang_Larsen.Mona.Dec_16.pdf

Den oprindelige artikel af Keith Nabb er på engelsk, og kan findes på dette link: http://www.keithnabb.com/yahoo_site_admin/assets/docs/CAS_As_A_Restructuring_Tool_in_Mathematics_Education.28990404.pdf

 

Artiklen indbyder læseren til at forholde sig til forskellige måder at anvende CAS på i undervisningen:

De fem forskellige betegnelser, som fremgår af modellen, kan i korte træk beskrives som:

  1. Black box: Her frembringer værktøjet resultater uden refleksion hos eleven over hvordan eller hvorfor
    • Et eksempel kan være, at en elev indtaster en ligning for at finde værdien af den/de ubekendte og programmet leverer en løsning. Hvis eleven ikke på forhånd er bekendt med ligningers struktur og hvad et resultat informerer om, så har eleven ingen chance for at vurdere  og reflektere over det svar, som programmet giver og derfor bliver det ‘Black box’.
  2. White box: Værktøjet anvendes i pædagogisk sammenhæng med henblik på at anskueliggøre regneprocesser og give eleverne mulighed for at erkende eventuelle fejlslutninger
    • Her giver Keith Nabb et eksempel, hvor CAS bliver et redskab til elevens aha-oplevelse frem for en handling i klasserummet, som overruler elevens bud på en løsning. I denne sammenhæng kan det give god mening at eleven arbejder med redskabet som et værktøj til udforskning. MEN det kan jo hænde, at eleven ikke reflekterer og derfor lander i en Black box alligevel. Det kræver altså, at eleven er i dialog med en eller flere i klasserummet, hvis eleven ikke selv er den undersøgende type, der kan reflektere i forhold til lært stof.
  3. Forstærker: Muligheden for at eleverne udarbejder mange gentagelser og dermed ser mønstre og regelmæssigheder, som kan forstærke deres intellektuelle aktivitet.
    • Hvis en opgave går ud på at undersøge sammenhænge ud fra forskellige præmisser, vil det være her, der er en oplagt mulighed for eleverne til at ræsonnere. Opgaven, hvor eleverne i indskolingen skal udforske de 25 vigtigste venner, kan være et eksempel på at se et mønster og en sammenhæng. Den kommutative lov vil være en ‘bonus-læring’, som eleverne kan erfare – og dermed forstærker undersøgelsen elevens læring.
  4. Diskussionsredskab: Det forekommer iflg. Nabb ofte, at samtalen fylder meget, når elever arbejder med CAS. Muligheden for at udføre undersøgelser øges, og de forskellige resultater, der fremkommer, er tydelige for alle og dermed genstand for diskussion.
    • Den dialog, der opstår, når elever bliver sat i situationer, hvor de skal forklare forskellige udfald for hinanden, er yderst givende. Et kvalitativt studie fra Gage (2002) viste at 11-12 årige piger, der arbejdede med algebra for første gang, havde diskussioner, der bragte dem op på et højere kognitivt niveau, når de arbejdede med lommeregnere. Jeg forestiller mig, at det samme kan ske, når det handler om at arbejde med algebra vha. nyere teknologi, da dialogen udfordrer tænkningen og dermed dækker et større område end hvis eleverne arbejder alene. Teknologien understøtter dialogen ved at give eleverne mulighed for at afprøve flere veje til løsninger og hvis de får forskellige løsninger, skal de argumentere for, hvilken/hvilke der gælder i deres problem.
  5. Katalysator for reform: Undervisningens indhold og form vil med CAS blive forandret, fordi det vil være en anderledes måde at møde begreberne på.
    • De opgaver, som en del matematikbøger stadig præsenterer eleverne for, er ikke interessante at arbejde med i en teknologi-sammenhæng. Det er for mig at se vigtigt, at matematikundervisningen sætter fokus på de matematiske kompetencer, som jeg ser som de områder, der særligt kan varetages i arbejdet med digitale værktøjer. Problembehandling, ræsonnement og tankegang og modellering understøttes særligt af digitale værktøjer, da eleverne her kan udforske og afprøve problemer, modeller og måske komme fra ‘overbevis til bevis’, når vi taler ræsonnementer.

Hvis jeg skal sammenligne med andre metoder, ser jeg Black box  som den maskinelle måde at arbejde med standardalgoritmer, som er lært udenad. Om det er en maskine, der regner, eller om eleven anvender en algoritme, som ikke er forstået, ser jeg ikke den store forskel i. Jeg tænker på de elever, jeg har hørt spørge: “Skal jeg gange eller dividere her?” – hvordan kunne de have profiteret af at prøve sig frem, og diskutere med andre om deres metode eller ræsonnement kunne passe? Det kunne have været interessant at træde et skridt tilbage og lytte til disse elever, hvis de havde haft andre muligheder end et udvalg af standardalgoritmer. Det ville have placeret dem i White box-, Forstærker- og Disussionsredskabsdelene af modellen og måske have givet dem større selvtillid og mod til at prøve sig frem.

Jeg hører ofte, at Danmark har brug for flere unge mennesker, der vil uddanne sig indenfor matematik og naturfag – måske kan vi få flere til at finde vejen til disse uddannelser, hvis vi ændrer måden at tilgå begreberne på og giver eleverne mulighed for at prøve sig frem, finde mønstre og diskutere matematik. For at citere en af den undersøgende matematiks foregangsmænd, Mikael Skaanstrøm: “Hvilket indhold og hvilken metode skal vi præsentere, hvis vi gerne vil have eleverne til at reflektere og sige: Det kommer an på…..?” Mikael har nogle bud bl.a. på sin hjemmeside: http://www.mikaelskaanstroem.dk/matematik.htm Her kan man hente undervisningsoplæg, som kan inspirere til arbejdet med ‘Det kommer an på…….’

Vi vil meget gerne have jeres refleksioner/kommentarer her på bloggen. Det kan anbefales at læse kommentaren i Mona af de to gymnasielærere – de har mange gode overvejelser, som kan diskuteres……………

Lav ligninger

Denne opgave er til mellemtrinnet.

preview_colourbox7751497

Hvor mange ligninger kan du lave, hvor løsningen er x= 10?

Udfordringsopgave:
Du kan vælge nogle af udfordringerne herunder, og undersøge, om du kan lave ligninger, hvor løsningen er x=10, men som samtidig opfylder nogle af punkterne herunder.

-Hvis tallet 13 skal være med

-Hvis du skal bruge addition

-Hvis du skan bruge subtraktion

-Hvis der skal være x på begge sider af lighedstegnet

-Find selv på en udfordring til din ligning.

Sodavandsfabrikken

soda

Et bryggeri har i depoterne A og B henholdsvis 10000 og 4000 rammer dåsesodavend. Disse rammer skal fordeles på to andre depoter, P og Q, således at 8500 kasser skal oplagres i P og resten i Q. Transporten pr ramme på ruterne AP, AQ, BP og BQ koster henholdsvis 5 kr., 12 kr., 3 kr. og 4 kr. Find den billigst mulige transportplan.

Hints til løsning af opgaven

  1. Brug x som variabel til at udtrykke, hvor mange kasser, der skal transporteres på de enkelte ruter
  2. Opstil et udtryk for den samlede pris udtrykt ved x
  3. Hvilke betingelser må du stille til antallet af kasser på de enkelte ruter?
  4. Kig grundigt på det grafiske billede af prisgrafen, og du har svaret

Rektangel med algebra

Denne opgave er til udskolingen

rektangel

Et rektangel har længde- og breddemål, som du kan se på tegningen.

Opstil et udtryk, som beskriver rektanglets omkreds.
Opstil et udtryk, som beskriver rektanglets areal.

Udfordringsopgave:
Tegn en geometrisk figur, som har arealet: algebraisk-udtryk

Aberne i træerne

Denne opgave er til indskolingen.

monkeytree

Der sidder 7 aber i to træer.
Lav så mange løsninger som du kan, der viser, hvor mange aber, der er i hvert af de to træer.

Udfordringsopgave:
Skriv, hvor mange aber, der er træ nr. 2, hvis der sidder k aber i træ nr. 1.

Hvordan kan vi beskrive højde?

Denne opgave er til mellemtrinnet.
preview_colourbox7686388

Freya er 12 centimeter højere end Asta. Asta er h centimeter høj.
Hvad kan vi sige om Freyas højde?

Udfordringsopgave:
Beskriv din egen højde ud fra en af dine klassekammerater, som er enten højere eller lavere end dig. Din kammerats højde kalder du h.

TPACK – et refleksionsværktøj, når vi forholder os til teknologi i undervisningen

I dette blogindlæg vil jeg gerne tage jer med en tur rundt i TPACK-modellens verden.
I første omgang har jeg en præsentation af TPACK-modellen, som jeg har lånt af min gode kollega Ture Reimer-Mattesen.
I et senere blogindlæg vil jeg give nogle eksempler på brugen af TPACK i forhold til it-inddragelse i undervisningen.

Du kan læse hele Tures artikel, hvis du vil, jeg bringer uddrag af den herunder.

TPACK står for Technological, Pedagogical And Content Knowledge. I præsentationen af modellen er valgt den danske oversættelse : TPFV.

Teknologisk,
Pædagogisk,
Fagfaglig,
Viden

  • Teknologi – læringsteknologier bredt: f.eks. IWB, Web 2.0 tjenester, søgemaskiner, tablets, smartphones, robotter, apps, GPS m.m.
  • Pædagogik (og didaktik) – viden om læring, dannelse, planlægning, gennemførelse og evaluering af undervisning.
  • Fagfaglig – Viden om fagets indhold, centrale kundskabs- og færdighedsområder.

model-15402

Når matematiklæreren skal planlægge sin undervisning med inddragelse af it, kræver det kendskab til alle tre elementer. Hvis it skal inddrages succesfuldt kræver det, at eleverne rent faktisk lærer mere af undervisningen, end de ville gøre uden it, men også at eleverne udvikler kompetencer, som betragtes som betydningsfulde i det 21. århundrede.

De tre elementer smelter sammen til TPACK modellen som det fremgår herunder:

model2540

Kort gennemgang

Her en kort gennemgang af modellens 4 snitflader: PFV, TFV, TPV og TPFV:

TFV – teknologisk, fagfaglig viden er viden om, hvordan fagligt indhold kan ændres og repræsenteres, når det digitaliseres. Viden om hvad f.eks. dynamiske fagprogrammer, hypertekster, simulationer og multimodale tekster gør ved indholdet. Undervisere skal ikke blot have viden om fagets indhold, men også viden om hvordan teknologi kan skabe nye måder at undervise i, bearbejde og repræsentere et givent indhold.

Eksempel:
Viden om hvordan et CAS-værktøj i matematik kan bruges til at forstå ligningsløsning på helt nye måder, hvor eleverne eksperimenterer med og reflekterer over egne, selvstændige, visuelle løsningsforslag og bevisførelser.
Eller viden om at tjenesten “Screencastify” installeret i Chromebrowseren, kan være med til at forbedre elevernes kommunikationskompetence i matematik, fordi deres sproglige opmærksomhed skærpes, når de hører/ser sig selv forklare matematik, og fordi de har mulighed for at gense deres skærmoptagelser.

PFV – pædagogisk, fagfaglig viden er viden om, hvilke undervisningstilgange og strategier der passer bedst til indholdet. Det er er også viden om pædagogiske og didaktiske teoriers anvendelighed i forhold til indhold, viden om elevernes forudsætninger, viden om hvad der ofte er svært at lære, viden om hvordan indholdet skal struktureres m.m.

Eksempel:
Viden om hvordan elever udvikler talforståelse og regnestrategier, og hvordan vi i undervisningen kan støtte elevernes udvikling af talforståelse og regnestrategier, ved at lade dem møde hinandens tænkning om begreberne. Vi kan lade dem afprøve hinandens regnestrategier, og vi kan give plads til alles forskellige måder at tænke på. På den måde udvikler vi et klassefællesskab som motiverer til læring.

TPV – teknologisk pædagogisk viden – viden om hvordan teknologi kan understøtte pædagogiske og didaktiske modeller. Viden om hvordan teknologi kan kvalificere forskellige arbejdsformer, kollaborative læringsscenarier, videndeling, projekt- og procesorienteret læring og fremme elevernes refleksion over egen læreproces.

Eksempel:
Viden om hvordan sociale, kollaborative og kommunikative værktøjer som f.eks. Google docs, Springpad, Twitter, Edistorm, Kidblog og Diigo kan kvalificere en projektpædagogik i forhold til at skabe rum for kommunikation og samarbejde på tværs af landegrænser og facilitere elevernes refleksion over egen læring.

TPFV – teknologisk, pædagogisk, fagfaglig viden. I hjertet af modellen er alle vidensområder sammentænkt og spiller gensidigt sammen. Succesfuld integration af teknologi foregår her.

Det interessante vi kan bruge TPACK-modellen til er i min optik, at gøre den til refleksionsramme, når vi tænker it ind i vores undervisning. Hvad ligger der i snitfladerne mellem fagfaglig viden, teknologisk viden og pædagogisk viden, og hvilke potentialer kan vi finde i det sweetspot, der er midt i modellen? Hvordan kan vi få det til udtryk i vores undervisning? Og hvordan spiller det 21. århundredes læringskompetencer ind?

Jeg er selv glad for at bruge padlet til brainstorms, fordi det er så overskueligt at justere på. Jeg har oprettet denne padlet til TPACK-refleksioner. I er velkomne til at kopiere den til jeres egne refleksioner. I skal blot være logget ind på jeres egen padlet-konto og trykke på remake-knappen øverst.
padlet

Vi vil meget gerne høre om jeres refleksioner omkring TPACK, så del endelig jeres erfaringer eller kommentarer her på bloggen.